Geometría e ilusión

La geometría considera relaciones entre elementos ficticios, relaciones gracias a las cuales parece cobrar entidad el espacio, pero ese espacio no deja de ser también una ilusión. No obstante, dicha ilusión aspira y llega a ser útil de cara nuestra intervención en la realidad. Pero, si el espacio constituye una ilusión, no son menos ilusorios los elementos que intervienen, ya sean rectas, esferas, paraboloides o superficies de Riemann. Las figuras ideales, establecidas por definición y no siempre directamente visibles, son ilusiones puestas a nuestro alcance con ayuda de construcciones pormenorizadas. Este espíritu constructivo tiene además un carácter creativo y forma la nervadura y el músculo con los que se imprime movimiento a la disciplina. En todo este asunto hay ideas que requieren atención y que se nos han ido colando de rondón: construcción, creación, nervio, movimiento, disciplina... Son ellas las que nos llevan a asimilar la labor del geómetra a la de otras gentes que también recurren a la intuición mientras se someten simultáneamente a pautas creativas y constructivas. A este motor irracional es al que apuntaba Richard Courant en su obra ¿Qué es la matemática? cuando afirmaba: «El pensamiento constructivo, guiado por la intuición, es la verdadera fuente de la dinámica matemática [..] La intuición constructiva de los matemáticos da a esta ciencia un elemento no deductivo e irracional que la hace  comparable con la música y el arte.» Todos los aspectos referidos arriba parecen ahí conjuntarse en una tarea que tiene larguísima tradición y un desarrollo formal amplísimo. El propio David Hilbert desvelaría la innegable importancia de la intuición geométrica en sus lecciones sobre Geometría e imaginación.

Confieso que no me mantengo al día en geometría. Pero tengo la impresión de que su vigor ha ido decayendo. El pulso constructivo se mantiene en matemáticas, pero ya no siempre se requiere el rigor deductivo, ese núcleo duro de la geometría, para refrendarlo. En los últimos tiempos las tentativas algorítmicas son tan veloces y precisas que sustituyen a la especulación intuitiva que antes servía de predecesora a una prueba lógica. Si el algoritmo acierta y resuelve el tema con un porcentaje de fiabilidad estadísticamente razonable, esa demostración podría pasar por innecesaria. Eso permite presentar los programas como teoremas. Hay, además, otro factor que erosiona el interés de la geometría. La geometría antigua era una palanca con la que se sostenía todo un mundo, imaginario, euclídeo si nos ponemos estrictos, pero en cualquier caso bastante sólido. Mi impresión es que la proliferación de imágenes explícitas, extraídas de las que tanto abundan en el mundo, ha dañado el prestigio evocador de la geometría. Hubo un tiempo en que la geometría invitaba a estilizar, a resumir, de algún modo era la antesala de la síntesis. Hay que pensar que no existían las rectas o los círculos antes de que la geometría los inventara como figuras con sus propiedades. Hoy para estimar la medida de una circunferencia no acudimos a la longitud del diámetro y a la fórmula correspondiente, disponemos de medios informáticos que permiten hacer una progresiva estimación cada vez más aproximada. Alguien puede decir que el valor de pi empleado en la fórmula también sería siempre aproximado. Pero, qué puedo ya decir, sino que la fórmula tiene para mí un valor como expresión de síntesis que el algoritmo de momento no tiene. La fórmula parece estar más integrada en nuestro modo de expresarnos, mientras que el algoritmo es el dictado que requieren para su tarea las máquinas. 

Hay finalmente una cuestión de carácter más general y un poco preocupante. No se trata ya sólo de que la deducción probada quede en segundo plano frente a la potencia de la aproximación empírica, lo que creo que se resiente con los cambios, como ya he adelantado, es la capacidad de síntesis. No parece haber problema con el análisis, puesto que la subdivisión de los problemas sigue siendo un método analítico habitual en la toma de decisiones. Pero en un mundo como el actual, en que la información corre a raudales, muchas veces sin orden ni concierto, debería de preocupar y se echa en falta la aplicación de la síntesis constructiva. No voy a hablar de síntesis de información general, aunque habría ahí mucho que decir. Voy de nuevo a la geometría. Y es que la geometría permitía viajes de ida y vuelta en esos devaneos por el mundo ilusorio. Al análisis le sucedía siempre una síntesis que culminaba y validaba la solidez de la construcción. Si uno consulta a Euclides, puede comprobarlo. No es que hoy no construyamos, puesto que contamos con una mecánica algorítmica que facilita la rápida puesta en funcionamiento de cualquier modelo. Están las teorías, pero, con o sin ellas, la simulación de sistemas es suficiente como base metodológica para los avances. Muchos proyectos matemáticos se plantean no pocas veces con vistas a obtener modelos evaluables y corregibles, y parece que ya nadie piensa en obtener un teorema constructivo. Los teoremas son demasiado exigentes y precisos, quizá por eso se han quedado en el pasado. Como no tenemos ojos cien por cien fiables para el futuro, seguimos progresando metiendo la mano y tanteando con mayor o menor acierto lo que nunca vemos. Pero nos hemos acostumbrado demasiado a tantear. Antes diseñábamos vías estrechas en ese espacio ilusorio, hoy creemos que con nuestra mano artificial las estamos abriendo bien holgadas.